Понятия "многочлен" и "разложение многочлена на множители" по алгебре встречаются очень часто, ведь их необходимо знать, чтобы с легкостью производить вычисления c большими многозначными числами. В этой статье будет описано несколько способов разложения. Все они достаточно просты в применении, стоит лишь правильно подобрать нужный в каждом конкретном случае.

Понятие многочлена

Многочлен является суммой одночленов, то есть выражений, содержащих только операцию умножения.

Например, 2 * x * y - это одночлен, а вот 2 * x * y + 25 - многочлен, который состоит из 2 одночленов: 2 * x * y и 25. Такие многочлены называет двучленами.

Иногда для удобства решения примеров с многозначными значениями выражение необходимо преобразовать, например, разложить на некоторое количество множителей, то есть чисел или выражений, между которыми производится действие умножения. Есть ряд способов разложения многочлена на множители. Стоит рассмотреть их начиная с самого примитивного, который применяют еще в начальных классах.

Группировка (запись в общем виде)

Формула разложения многочлена на множители способом группировки в общем виде выглядит таким образом:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Необходимо сгруппировать одночлены так, чтобы в каждой группе появился общий множитель. В первой скобке это множитель с, а во второй - d. Это нужно сделать для того, чтобы затем вынести его за скобку, тем самым упростив вычисления.

Алгоритм разложения на конкретном примере

Простейший пример разложения многочлена на множители способом группировки приведен ниже:

10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b)

В первую скобку нужно взять слагаемые с множителем а, который и будет общим, а во вторую - со множителем b. Обратите внимание на знаки + и - в готовом выражении. Мы ставим перед одночленом тот знак, который был в начальном выражении. То есть нужно работать не с выражением 25а, а с выражением -25. Знак минус как бы «приклеить» к стоящему за ним выражению и всегда учитывать его при вычислениях.

На следующем шаге нужно вынести множитель, который является общим, за скобку. Именно для этого и делается группировка. Вынести за скобку - значит выписать перед скобкой (опуская знак умножения) все те множители, которые с точностью повторяются во всех слагаемых, которые находятся в скобке. Если в скобке не 2, а 3 слагаемых и больше, общий множитель должен содержаться в каждом из них, иначе его нельзя вынести за скобку.

В нашем случае - только по 2 слагаемых в скобках. Общий множитель сразу виден. В первой скобке - это а, во второй - b. Здесь нужно обратить внимание на цифровые коэффициенты. В первой скобке оба коэффициента (10 и 25) кратны 5. Это значит, что можно вынести за скобку не только а, но и 5а. Перед скобкой выписать 5а, а затем каждое из слагаемых в скобках поделить на общий множитель, который был вынесен, и также записать частное в скобках, не забывая о знаках + и - Со второй скобкой поступить также, вынести 7b, так как и 14 и 35 кратно 7.

10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b) = 5а(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Получилось 2 слагаемых: 5а(2c - 5) и 7b(2c - 5). Каждое из них содержит общий множитель (все выражение в скобках здесь совпадает, значит, является общим множителем): 2с - 5. Его тоже нужно вынести за скобку, то есть во второй скобке остаются слагаемые 5а и 7b:

5а(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5а + 7b).

Итак, полное выражение:

10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b) = 5а(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5а + 7b).

Таким образом, многочлен 10ас + 14bc - 25a - 35b раскладываается на 2 множителя: (2c - 5) и (5а + 7b). Знак умножения между ними при записи можно опускать

Иногда встречаются выражения такого типа: 5а 2 + 50а 3 , здесь можно вынести за скобку не только а или 5а, а даже 5а 2 . Всегда нужно стараться вынести максимально большой общий множитель за скобку. В нашем случае, если разделить каждое слагаемое на общий множитель, то получается:

5а 2 / 5а 2 = 1; 50а 3 / 5а 2 = 10а (при вычислении частного нескольких степеней с равными основаниями основание сохраняется, а показатель степени вычитается). Таким образом, в скобке остается единица (ни в коем случае не забывайте писать единицу, если выносите за скобку целиком одно из слагаемых) и частное от деления: 10а. Получается, что:

5а 2 + 50а 3 = 5а 2 (1 + 10а)

Формулы квадратов

Для удобства вычислений были выведены несколько формул. Они называются формулами сокращенного умножения и используются довольно часто. Эти формулы помогают разложить на множители многочлены, содержащие степени. Это еще один действенный способ разложения на множители. Итак, вот они:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - формула, получившая название "квадрат суммы", так как в результате разложения в квадрат берется сумма чисел, заключенная в скобки, то есть значение этой суммы умножается само на себя 2 раза, а значит, является множителем.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - формула квадрата разности, она аналогична предыдущей. В результате получается разность, заключенная в скобки, содержащаяся в квадратной степени.
• a 2 - b 2 = (a + b)(а - b) - это формула разности квадратов, так как изначально многочлен состоит из 2 квадратов чисел или выражений, между которыми производится вычитание. Пожалуй, из трех названных она используется чаще всего.

Примеры на вычисления по формулам квадратов

Вычисления по ним производятся достаточно просто. Например:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - используем формулу "квадрат суммы".
2. 25x 2 является квадратом выражения 5х. 20ху - удвоенное произведение 2*(5х*2у), а 4y 2 - это квадрат 2у.
3. Таким образом, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2у) 2 = (5x + 2у)(5x + 2у). Данный многочлен раскладывается на 2 множителя (множители одинаковые, поэтому записывается в виде выражения с квадратной степенью).

Действия по формуле квадрата разности производятся аналогично этим. Остается формула разность квадратов. Примеры на эту формулу очень легко определить и найти среди других выражений. Например:

• 25а 2 - 400 = (5а - 20)(5а + 20). Так как 25а 2 = (5а) 2 , а 400 = 20 2
• 36х 2 - 25у 2 = (6х - 5у) (6х + 5у). Так как 36х 2 = (6х) 2 , а 25у 2 = (5у 2)
• с 2 - 169b 2 = (с - 13b)(c + 13b). Так как 169b 2 = (13b) 2

Важно, чтобы каждое из слагаемых являлось квадратом какого-либо выражения. Тогда этот многочлен подлежит разложению на множители по формуле разности квадратов. Для этого не обязательно, чтобы над числом стояла именно вторая степень. Встречаются многочлены, содежащие большие степени, но все равно подходящие к этим формулам.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

В данном примере а 8 можно представить как (a 4) 2 , то есть квадрат некого выражения. 25 - это 5 2 , а 10а 4 - это удвоенное произведениеслагаемых2*a 4 *5. То есть данное выражение, несмотря на наличие степеней с большими показателями, можно разложить на 2 множителя, чтобы в последствии работать с ними.

Формулы кубов

Такие же формулы существуют для разложения на множители многочленов, содержащих кубы. Они немного посложнее тех, что с квадратами:

• a 3 + b 3 = (а + b)(a 2 - ab + b 2) - эту формулу называют суммой кубов, так как в начальном виде многочлен представляет собой сумму двух выражений или чисел, заключенных в куб.
• a 3 - b 3 = (а - b)(a 2 + ab + b 2) - формула, идентичная предыдущей, обозначена как разность кубов.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - куб суммы, в результате вычислений получается сумма чисел или выражений, заключенная в скобки и умноженная сама на себя 3 раза, то есть находящаяся в кубе
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - формула, составленная по аналогии предыдущей с изменением лишь некоторых знаков математических операций (плюс и минус), имеет название "куб разности".

Последние две формулы практически не испольуются с целью разложения многочлена на множители, так как они сложны, и достаточно редко встречаются многочлены, полностью соответствующие именно такому строению, чтобы их можно было разложить по этим формулам. Но их все равно нужно знать, так как они потребуются при действиях в обратном направлении - при раскрытии скобок.

Примеры на формулы кубов

Рассмотрим пример: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2).

Здесь взяты достаточно простые числа, поэтому сразу можно увидеть, что 64а 3 - это (4а) 3 , а 8b 3 - это (2b) 3 . Таким образом, этот многочлен раскладывается по формуле разность кубов на 2 множителя. Действия по формуле суммы кубов производятся по аналогии.

Важно понимать, что далеко не все многочлены подлежат разложению хотя бы одним из способов. Но есть такие выражения, которые содержат большие степени, чем квадрат или куб, но их также можно разложить по формуам сокращенного умножения. Например: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y)(x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

В этом примере содержится аж 12 степень. Но даже его возможно разложить на множители по формуле суммы кубов. Для этого нужно представить х 12 как (x 4) 3 , то есть как куб какого-либо выражения. Теперь в формулу вместо а нужно подставлять именно его. Ну а выражение 125у 3 - это куб 5у. Далее следует составить произведение по формуле и произвести вычисления.

На первых порах или в случае возникших сомнений, вы всегда можете произвести проверку обратным умножением. Вам нужно лишь раскрыть скобки в получившемся выражении и выполнить действия с подобными слагаемыми. Этот метод относится ко всем перечисленным способам сокращения: как к работе с общим множителем и группировке, так и к действиям по формулам кубов и квадратных степеней.

Что значит разложить на простые множители? Как это сделать? Что можно узнать по разложению числа на простые множители? Ответы на эти вопросы иллюстрируются конкретными примерами.

Определения:

Простым называют число, которое имеет ровно два различных делителя.

Составным называют число, которое имеет более двух делителей.

Разложить натуральное число на множители - значит представить его в виде произведения натуральных чисел.

Разложить натуральное число на простые множители - значит представить его в виде произведения простых чисел.

Замечания:

• В разложении простого числа один из множителей равен единице, а другой - самому этому числу.
• Говорить о разложении единицы на множители не имеет смысла.
• Составное число можно разложить на множители, каждый из которых отличен от 1.

При разложении больших чисел на простые множители используют запись в столбик:

	Наименьшее простое число, на которое делится 216 - это 2. Разделим 216 на 2. Получим 108.
	Полученное число 108 делится на 2. Выполним деление. Получим в результате 54.
	Согласно признаку делимости на 2 число 54 делится на 2. Выполнив деление, получим 27.
	Число 27 заканчивается на нечетную цифру 7 . Оно Не делится на 2. Следующее простое число - это 3. Разделим 27 на 3. Получим 9. Наименьшее простое Число, на которое делится 9, - это 3. Три - само является простым числом, оно делится на себя и на единицу. Разделим 3 на себя. В итоге мы получили 1.

• Число делится лишь на те простые числа, которые входят в состав его разложения.
• Число делится лишь на те составные числа, разложение которых на простые множители полностью в нем содержится.

Рассмотрим примеры:

Найти частное от деления числа a на число b, если эти числа раскладываются на простые множители следующим образом a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия. 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

1. Интернет-портал Matematika-na.ru ().
2. Интернет-портал Math-portal.ru ().

Домашнее задание

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. № 127, № 129, № 141.
2. Другие задания: № 133, № 144.

Разложение на множители уравнения – это процесс нахождения таких членов или выражений, которые, будучи перемноженными, приводят к начальному уравнению. Разложение на множители является полезным навыком для решения основных алгебраических задач, и становится практически необходимым при работе с квадратными уравнениями и другими многочленами. Разложение на множители используется для упрощения алгебраических уравнений, чтобы облегчить их решение. Разложение на множители может помочь вам исключить определенные возможные ответы быстрее, чем вы это сделаете, решая уравнение вручную.

Шаги

Разложение на множители чисел и основных алгебраических выражений

1. Разложение на множители чисел. Концепция разложения на множители проста, но на практике разложение на множители может оказаться непростой задачей (если дано сложное уравнение). Поэтому для начала рассмотрим концепцию разложения на множители на примере чисел, продолжим с простыми уравнениями, а затем перейдем к сложным уравнениям. Множители данного числа – это числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 12 являются числа: 1, 12, 2, 6, 3, 4, так как 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Аналогично, вы можете рассматривать множители числа как его делители, то есть числа, на которые делится данное число.
   • Найдите все множители числа 60. Мы часто используем число 60 (например, 60 минут в часе, 60 секунд в минуте и т.д.) и у этого числа довольно большое количество множителей.
     • Множители 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60.

2. Запомните: члены выражения, содержащие коэффициент (число) и переменную, также могут быть разложены на множители. Для этого найдите множители коэффициента при переменной. Зная, как разложить на множители члены уравнений, можно легко упростить данное уравнение.

   • Например, член 12x может быть записан в виде произведения 12 и х. Вы также можете записать 12x как 3(4x), 2(6x) и т.д., разложив число 12 на наиболее подходящие вам множители.
     • Вы можете раскладывать 12x несколько раз подряд. Другими словами, вы не должны останавливаться на 3(4x) или 2(6x); продолжите разложение: 3(2(2x)) или 2(3(2x)) (очевидно, что 3(4x)=3(2(2x)) и т.д.)

3. Примените распределительное свойство умножения для разложения на множители алгебраических уравнений. Зная, как разложить на множители числа и члены выражения (коэффициенты с переменными), вы можете упростить несложные алгебраические уравнения, найдя общий множитель числа и члена выражения. Обычно для упрощения уравнения необходимо найти наибольший общий делитель (НОД). Такое упрощение возможно благодаря распределительному свойству умножения: для любых чисел а, b, с верно равенство a(b+c) = ab+ac.

   • Пример. Разложите на множители уравнение 12х + 6. Во-первых, найдите НОД 12x и 6. 6 является наибольшим числом, которое делит и 12x, и 6, поэтому вы можете разложить данное уравнение на: 6(2x+1).
   • Этот процесс также верен для уравнений, в которых есть отрицательные и дробные члены. Например, х/2+4 может быть разложено на 1/2(х+8); например, -7x+(-21) может быть разложено на -7(х+3).

   Разложение на множители квадратных уравнений

   1. Убедитесь, что уравнение дано в квадратичной форме (ax 2 + bx + c = 0). Квадратные уравнения имеют вид: ax 2 + bx + c = 0, где а, b, с - числовые коэффициенты отличные от 0. Если вам дано уравнение с одной переменной (х) и в этом уравнении есть один или несколько членов с переменной второго порядка, вы можете перенести все члены уравнения на одну сторону уравнения и приравнять его к нулю.

      • Например, дано уравнение: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Оно может быть преобразовано в уравнение x 2 + 6x + 9 = 0, которое является квадратным уравнением.
      • Уравнения с переменной х больших порядков, например, x 3 , x 4 и т.д. не являются квадратными уравнениями. Это кубические уравнения, уравнения четвертого порядка и так далее (только если такие уравнения не могут быть упрощены до квадратных уравнений с переменной х в степени 2).

   2. Квадратные уравнения, где а = 1, раскладываются на (x+d)(x+e), где d*е=с и d+е=b. Если данное вам квадратное уравнение имеет вид: x 2 + bx + c = 0 (то есть коэффициент при x 2 равен 1), то такое уравнение можно (но не гарантированно) разложить на вышеуказанные множители. Для этого нужно найти два числа, которые при перемножении дают «с», а при сложении – «b». Как только вы найдете такие два числа (d и е), подставьте их в следующее выражение: (x+d)(x+e), которое при раскрытии скобок приводит к исходному уравнению.

      • Например, дано квадратное уравнение x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 и 3+2=5, поэтому вы можете разложить данное уравнение на (х+3)(х+2).
      • В случае отрицательных членов внесите следующие незначительные изменения в процесс разложения на множители:
        • Если квадратное уравнение имеет вид x 2 -bx+c, то оно раскладывается на: (х-_)(х-_).
        • Если квадратное уравнение имеет вид x 2 -bx-c, то оно раскладывается на: (х+_)(х-_).
      • Примечание: пробелы могут быть заменены на дроби или десятичные числа. Например, уравнение x 2 + (21/2)x + 5 = 0 раскладывается на (х+10)(х+1/2).

   3. Разложение на множители методом проб и ошибок. Несложные квадратные уравнения можно разложить на множители, просто подставляя числа в возможные решения до тех пор, пока вы не найдете правильного решения. Если уравнение имеет вид ax 2 +bx+c, где a>1, возможные решения записываются в виде (dx +/- _)(ex +/- _), где d и е - числовые коэффициенты отличные от нуля, которые при перемножении дают а. Либо d, либо e (или оба коэффициента) могут быть равны 1. Если оба коэффициента равны 1, то воспользуйтесь способом, описанным выше.

      • Например, дано уравнение 3x 2 - 8x + 4. Здесь 3 имеет только два множителя (3 и 1), поэтому возможные решения записываются в виде (3x +/- _)(х +/- _). В этом случае, подставив вместо пробелов -2, вы найдете правильный ответ: -2*3x=-6x и -2*х=-2x; - 6x+(-2x)=-8x и -2*-2=4, то есть такое разложение при раскрытии скобок приведет к членам исходного уравнения.

Данная статья дает ответы на вопрос о разложении числа на простыне множители. Рассмотрим общее представление о разложении с примерами. Разберем каноническую форму разложения и его алгоритм. Будут рассмотрены все альтернативные способы при помощи использования признаков делимости и таблицы умножения.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что значит разложить число на простые множители?

Разберем понятие простые множители. Известно, что каждый простой множитель – это простое число. В произведении вида 2 · 7 · 7 · 23 имеем, что у нас 4 простых множителя в виде 2 , 7 , 7 , 23 .

Разложение на множители предполагает его представление в виде произведений простых. Если нужно произвести разложение числа 30 , тогда получим 2 , 3 , 5 . Запись примет вид 30 = 2 · 3 · 5 . Не исключено, что множители могут повторяться. Такое число как 144 имеет 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 .

Не все числа предрасположены к разложению. Числа, которые больше 1 и являются целыми можно разложить на множители. Простые числа при разложении делятся только на 1 и на самого себя, поэтому невозможно представить эти числа в виде произведения.

При z , относящемуся к целым числам, представляется в виде произведения а и b , где z делится на а и на b . Составные числа раскладывают на простые множители при помощи основной теоремы арифметики. Если число больше 1 , то его разложение на множители p 1 , p 2 , … , p n принимает вид a = p 1 , p 2 , … , p n . Разложение предполагается в единственном варианте.

Каноническое разложение числа на простые множители

При разложении множители могут повторяться. Их запись выполняется компактно при помощи степени. Если при разложении числа а имеем множитель p 1 , который встречается s 1 раз и так далее p n – s n раз. Таким образом разложение примет вид a=p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n . Эта запись имеет название канонического разложения числа на простые множители.

При разложении числа 609840 получим, что 609 840 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11 · 11 ,его канонический вид будет 609 840 = 2 4 · 3 2 · 5 · 7 · 11 2 . При помощи канонического разложения можно найти все делители числа и их количество.

Чтобы правильно разложить на множители необходимо иметь представление о простых и составных числах. Смысл заключается в том, чтобы получить последовательное количество делителей вида p 1 , p 2 , … , p n чисел a , a 1 , a 2 , … , a n - 1 , это дает возможность получить a = p 1 · a 1 , где a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , где a 2 = a 1: p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · a n , где a n = a n - 1: p n . При получении a n = 1 , то равенство a = p 1 · p 2 · … · p n получим искомое разложение числа а на простые множители. Заметим, что p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n .

Для нахождения наименьших общих делителей необходимо использовать таблицу простых чисел. Это выполняется на примере нахождения наименьшего простого делителя числа z . При взятии простых чисел 2 , 3 , 5 , 11 и так далее, причем на них делим число z . Так как z не является простым числом, следует учитывать, что наименьшим простым делителем не будет больше z . Видно, что не существуют делителей z , тогда понятно, что z является простым числом.

Пример 1

Рассмотрим на примере числа 87 . При его делении на 2 имеем, что 87: 2 = 43 с остатком равным 1 . Отсюда следует, что 2 делителем не может являться, деление должно производиться нацело. При делении на 3 получим, что 87: 3 = 29 . Отсюда вывод – 3 является наименьшим простым делителем числа 87 .

При разложении на простые множители необходимо пользоваться таблицей простых чисел, где a . При разложении 95 следует использовать около 10 простых чисел, а при 846653 около 1000 .

Рассмотрим алгоритм разложения на простые множители:

• нахождение наименьшего множителя при делителе p 1 числа a по формуле a 1 = a: p 1 , когда a 1 = 1 , тогда а является простым числом и включено в разложение на множители, когда не равняется 1 , тогда a = p 1 · a 1 и следуем к пункту, находящемуся ниже;
• нахождение простого делителя p 2 числа a 1 при помощи последовательного перебора простых чисел, используя a 2 = a 1: p 2 , когда a 2 = 1 , тогда разложение примет вид a = p 1 · p 2 , когда a 2 = 1 , тогда a = p 1 · p 2 · a 2 , причем производим переход к следующему шагу;
• перебор простых чисел и нахождение простого делителя p 3 числа a 2 по формуле a 3 = a 2: p 3 , когда a 3 = 1 , тогда получим, что a = p 1 · p 2 · p 3 , когда не равняется 1 , тогда a = p 1 · p 2 · p 3 · a 3 и производим переход к следующему шагу;
• производится нахождение простого делителя p n числа a n - 1 при помощи перебора простых чисел с p n - 1 , а также a n = a n - 1: p n , где a n = 1 , шаг является завершающим, в итоге получаем, что a = p 1 · p 2 · … · p n .

Результат алгоритма записывается в виде таблицы с разложенными множителями с вертикальной чертой последовательно в столбик. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Полученный алгоритм можно применять при помощи разложения чисел на простые множители.

Во время разложения на простые множители следует придерживаться основного алгоритма.

Пример 2

Произвести разложение числа 78 на простые множители.

Решение

Для того, чтобы найти наименьший простой делитель, необходимо перебрать все простые числа, имеющиеся в 78 . То есть 78: 2 = 39 . Деление без остатка, значит это первый простой делитель, который обозначим как p 1 . Получаем, что a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39 . Пришли к равенству вида a = p 1 · a 1 , где 78 = 2 · 39 . Тогда a 1 = 39 , то есть следует перейти к следующему шагу.

Остановимся на нахождении простого делителя p 2 числа a 1 = 39 . Следует перебрать простые числа, то есть 39: 2 = 19 (ост. 1). Так как деление с остатком, что 2 не является делителем. При выборе числа 3 получаем, что 39: 3 = 13 . Значит, что p 2 = 3 является наименьшим простым делителем 39 по a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13 . Получим равенство вида a = p 1 · p 2 · a 2 в виде 78 = 2 · 3 · 13 . Имеем, что a 2 = 13 не равно 1 , тогда следует переходит дальше.

Наименьший простой делитель числа a 2 = 13 ищется при помощи перебора чисел, начиная с 3 . Получим, что 13: 3 = 4 (ост. 1). Отсюда видно, что 13 не делится на 5 , 7 , 11 , потому как 13: 5 = 2 (ост. 3), 13: 7 = 1 (ост. 6) и 13: 11 = 1 (ост. 2). Видно, что 13 является простым числом. По формуле выглядит так: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1 . Получили, что a 3 = 1 , что означает завершение алгоритма. Теперь множители записываются в виде 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) .

Ответ: 78 = 2 · 3 · 13 .

Пример 3

Разложить число 83 006 на простые множители.

Решение

Первый шаг предусматривает разложение на простые множители p 1 = 2 и a 1 = a: p 1 = 83 006: 2 = 41 503 , где 83 006 = 2 · 41 503 .

Второй шаг предполагает, что 2 , 3 и 5 не простые делители для числа a 1 = 41 503 , а 7 простой делитель, потому как 41 503: 7 = 5 929 . Получаем, что p 2 = 7 , a 2 = a 1: p 2 = 41 503: 7 = 5 929 . Очевидно, что 83 006 = 2 · 7 · 5 929 .

Нахождение наименьшего простого делителя p 4 к числу a 3 = 847 равняется 7 . Видно, что a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121 , поэтому 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 121 .

Для нахождения простого делителя числа a 4 = 121 используем число 11 , то есть p 5 = 11 . Тогда получим выражение вида a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11 , и 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11 .

Для числа a 5 = 11 число p 6 = 11 является наименьшим простым делителем. Отсюда a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1 . Тогда a 6 = 1 . Это указывает на завершение алгоритма. Множители запишутся в виде 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11 .

Каноническая запись ответа примет вид 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2 .

Ответ: 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11 = 2 · 7 3 · 11 2 .

Пример 4

Произвести разложение числа 897 924 289 на множители.

Решение

Для нахождения первого простого множителя произвести перебор простых чисел, начиная с 2 . Конец перебора приходится на число 937 . Тогда p 1 = 937 , a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 и 897 924 289 = 937 · 958 297 .

Второй шаг алгоритма заключается в переборе меньших простых чисел. То есть начинаем с числа 937 . Число 967 можно считать простым, потому как оно является простым делителем числа a 1 = 958 297 . Отсюда получаем, что p 2 = 967 , то a 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 и 897 924 289 = 937 · 967 · 991 .

Третий шаг говорит о том, что 991 является простым числом, так как не имеет ни одного простого делителя, который не превосходит 991 . Примерное значение подкоренного выражения имеет вид 991 < 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Отсюда видно, что p 3 = 991 и a 3 = a 2: p 3 = 991: 991 = 1 . Получим, что разложение числа 897 924 289 на простые множители получается как 897 924 289 = 937 · 967 · 991 .

Ответ: 897 924 289 = 937 · 967 · 991 .

Использование признаков делимости для разложения на простые множители

Чтобы разложить число на простые множители, нужно придерживаться алгоритма. Когда имеются небольшие числа, то допускается использование таблицы умножения и признаков делимости. Это рассмотрим на примерах.

Пример 5

Если необходимо произвести разложение на множители 10 , то по таблице видно: 2 · 5 = 10 . Получившиеся числа 2 и 5 являются простыми, поэтому они являются простыми множителями для числа 10 .

Пример 6

Если необходимо произвести разложение числа 48 , то по таблице видно: 48 = 6 · 8 . Но 6 и 8 – это не простые множители, так как их можно еще разложить как 6 = 2 · 3 и 8 = 2 · 4 . Тогда полное разложение отсюда получается как 48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 · 4 . Каноническая запись примет вид 48 = 2 4 · 3 .

Пример 7

При разложении числа 3400 можно пользоваться признаками делимости. В данном случае актуальны признаки делимости на 10 и на 100 . Отсюда получаем, что 3 400 = 34 · 100 , где 100 можно разделить на 10 , то есть записать в виде 100 = 10 · 10 , а значит, что 3 400 = 34 · 10 · 10 . Основываясь на признаке делимости получаем, что 3 400 = 34 · 10 · 10 = 2 · 17 · 2 · 5 · 2 · 5 . Все множители простые. Каноническое разложение принимает вид 3 400 = 2 3 · 5 2 · 17 .

Когда мы находим простые множители, необходимо использовать признаки делимости и таблицу умножения. Если представить число 75 в виде произведения множителей, то необходимо учитывать правило делимости на 5 . Получим, что 75 = 5 · 15 , причем 15 = 3 · 5 . То есть искомое разложение пример вид произведения 75 = 5 · 3 · 5 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Очень часто числитель и знаменатель дроби представляют собой алгебраические выражения, которые сначала нужно разложить на множители, а потом, обнаружив среди них одинаковые, разделить на них и числитель, и знаменатель, то есть сократить дробь. Заданиям разложить многочлен на множители посвящена целая глава учебника по алгебре в 7-м классе. Разложение на множители можно осуществить 3 способами , а также комбинацией этих способов.

1. Применение формул сокращенного умножения

Как известно, чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно каждое слагаемое одного многочлена умножить на каждое слагаемое другого многочлена и полученные произведения сложить. Есть, как минимум, 7 (семь) часто встречающихся случаев умножения многочленов, которые вошли в понятие . Например,

Таблица 1. Разложение на множители 1-м способом

2. Вынесение общего множителя за скобку

Этот способ основан на применении распределительного закона умножения. Например,

Каждое слагаемое исходного выражения мы делим на множитель, который выносим, и получаем при этом выражение в скобках (то есть в скобках остаётся результат деления того, что было, на то, что выносим). Прежде всего нужно правильно определить множитель , который надо вынести за скобку.

Общим множителем может быть и многочлен в скобках:

При выполнении задания «разложите на множители» надо быть особенно внимательным со знаками при вынесении общего множителя за скобки. Чтобы поменять знак у каждого слагаемого в скобке (b — a) , вынесем за скобку общий множитель -1 , при этом каждое слагаемое в скобке разделится на -1: (b — a) = — (a — b) .

В том случае если выражение в скобках возводится в квадрат (или в любую чётную степень), то числа внутри скобок можно менять местами совершенно свободно, так как вынесенные за скобки минусы при умножении всё равно превратятся в плюс: (b — a) 2 = (a — b) 2 , (b — a) 4 = (a — b) 4 и так далее…

3. Способ группировки

Иногда общий множитель имеется не у всех слагаемых в выражении, а только у некоторых. Тогда можно попробовать сгруппировать слагаемые в скобки так, чтобы из каждой можно было какой-то множитель вынести. Способ группировки - это двойное вынесение общих множителей за скобки.

4. Использование сразу нескольких способов

Иногда нужно применить не один, а несколько способов разложения многочлена на множители сразу.

Это конспект по теме «Разложение на множители» . Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту: