Неравенством с двумя переменными х и у называется неравенство вида:

(или знак )

где – некоторое выражение с данными переменными.

Решением неравенства с двумя переменными называют упорядоченную пару чисел при которой это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – значит найти множество всех его решений. Решением неравенства с двумя переменными является некоторое множество точек координатной плоскости.

Основным методом решений данных неравенств является графический метод. Он заключается в том, что строятся линии границ (если неравенство строгое, линия строится пунктиром). Уравнение границы получаем, если в заданном неравенстве заменяем знак неравенства на знак равенства. Все линии в совокупности разбивают координатную плоскость на части. Искомое множество точек, которое соответствует заданному неравенству или системе неравенств, можно определить, если взять контрольную точку внутри каждой области области.

Совокупность неравенств с двумя переменными имеет вид

Решением совокупности является объединение всех решений неравенств.

Пример 1. Решить систему

Решение. Построим в системе Оху соответствующие линии (рис.19):

Уравнение задает окружность с центром в точке О ¢(0; 1) и R = 2.

Уравнение определяет параболу с вершиной в точке О (0; 0).

Найдем решения каждого из неравенств, входящих в систему. Первому неравенству соответствует область внутри окружности и сама окружность (в справедливости этого убеждаемся, если подставим в неравенство координаты любой точки из этой области). Второму неравенству соответствует область, расположенная под параболой.

Решение системы – пересечение двух указанных областей (на рис.19 показано наложением двух штриховок).

Задания

I уровень

1.1. Решить графически:

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

II уровень

2.1. Решите графически:

1) 2)

2.2. Найдите количество целочисленных решений системы:

1) 2) 3)

2.3. Найдите все целочисленные решения системы:

1) 2)

Любому учителю известно, что уроки, посвященные изучению графиков функций, требуют построения большого количества графиков. Чем больше будет построено графиков, тем лучше учащиеся освоят данный материал. Но возникает проблема – ограниченное время урока. Перед учителем встает вопрос о выборе средств и методов обучения с целью обеспечения максимальной эффективности изучения математики. В этом случае приходят на помощь компьютерные технологии. В настоящее время существует много программ, с помощью которых можно рисовать графики функций. Они дают возможность проиллюстрировать свойства функций быстро и наглядно, что повышает и активизирует познавательную деятельность учащихся. На представленном уроке используется программа Advanced Grapher.

Класс : 9.

Технологии: Информационно-коммуникативные технологии.

Оборудование : Компьютер; проектор, интерактивная доска; программа «Advanced Grapher», классная доска; учебник «Алгебра 9 класс». (Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. Москва «Просвещение», 2011г.), рабочая тетрадь, карточки-тесты.

Цели:

• Образовательные – ввести понятие решения системы неравенств с двумя переменными; формировать умение решать системы неравенств с двумя переменными, отработать навыки построения множества решений систем неравенств на координатной плоскости;
• Развивающие – формирование графической и функциональной культуры учащихся;
• Воспитательные – воспитание интереса к математике и повышение мотивации учебной деятельности через внедрение компьютерных технологий в процесс обучения, побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.

Ход урока

Актуализация знаний .

Учитель. На доске вы видите два неравенства

х 2 +3ху –у 2 <20 и (х-3) 2 +(у-4) 2 <2

• Как они называются? [Неравенства с двумя переменными]
• Что является решением такого неравенства? [Пара чисел, которые удовлетворяют неравенству]
• Определите, является ли пара чисел (-2;3) решением какого либо из этих неравенств? [Являются решением только первого неравенства]
• Найдите свою пару чисел которая являлась бы решением второго неравенства [Например 3 и 4, 4 и 4, 3 и 5 и т.д.]

Проверка домашнего задания.

Учитель Давайте вспомним, как решаются такие неравенства.

На примере неравенств х 2 +2 > у и (x -1)^2+(y +2)^2<4 рассказать о решениинеравенств с двумя переменными.

Двое учащихся рассказывают и показывают решение неравенств на доске.

• Чем отличается решение строгого неравенства от нестрогого? [линия функии штриховая]
• Как можно проверить правильно ли вы выбрали множество? [Правило пробной точки]

Проверим решение №484б и г с помощью программы «Advanced Grapher» на интерактивной доске. (Учитель открывает готовый файл Приложение 1.agr. В окне слева выбирает первую и вторую функцию

Чтобы проверить решение второго неравенства отмените построение предыдущих двух и выберите следующие две)

[Учащиеся сравнивают решение в тетрадях с изображением на интерактивной доске.]

Тестовая работа.

на готовых карточках- координатных плоскостях (Приложение 2) показать решения неравенств а) х>2, б) у<-2; в) -3<у<3; г)│х│<у; д)│ х-2│>у с последующей проверкой на интерактивной доске с помощью программы « Advanced Grapher ». (Приложение 1. agr)

Новая тема.

Учитель. Тема сегодняшнего урока «Системы неравенств с двумя переменными»

• Как вы думаете, каковы цели сегодняшнего урока?
• Чему вы должны научиться к концу сегодняшнего урока?

Рассмотрим систему неравенств с двумя переменными.

• Как вы думаете, что же может, является решением такой системы? [Пара чисел]
• Какие из пар (4;2), (-5;1), (-2;-1) являются решением этой системы? [Первая]
• Как по-вашему, сколько решений может иметь такая система? [Множество]
• Что значит решить систему?c[Найти все решения, или доказать, что таких решений нет]

Учитель. Давайте выясним, какое множество точек задает на координатной плоскости система. Как это сделать? [Решить по отдельности каждое неравенство и найти их пересечение решений.]

Пример 1

Ребята в тетрадях рисуют графики функций, а учитель поэтапно показывает графики на интерактивной доске (Приложение 1.agr)

Как можно проверить правильно ли показано множество решений? [Правило пробной точки]

Пример 2. Выполнение в тетради, затем поэтапная проверка на интерактивной доске (Приложение 1.agr)

Пример 3 Выполнение в тетради, затем поэтапная проверка на интерактивной доске (Приложение 1.agr)

Закрепление .

№497 а, в на обычной доске [Одновременное решение на доске и в тетрадях]

Итоги урока .

– Что называется решением системы неравенств с двумя переменными?

– Как решаются системы линейных неравенств с двумя переменными?

– Как проверить верно ли выбрано решение?

Домашнее задание.

№ 497 (б, г), Доп.задание: Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств.

Часто приходится изображать на координатной плоскости мно-жество решений неравенства с двумя переменными. Решением неравенства с двумя переменными называют пару значений этих переменных, которая обращает данное неравенство в верное числовое неравенство.

2у + Зх < 6.

Сначала построим прямую. Для этого запишем неравенство в виде уравнения 2у + Зх = 6 и выразим y. Таким образом, получим: y=(6-3 x)/2.

Эта прямая раз-бивает множество всех точек координатной плоскости на точки, расположенные выше ее, и точки, расположенные ниже ее.

Возь-мем из каждой области по контрольной точке , например А (1;1) и В (1; 3)

Координаты точки А удовлетворяют данному неравенству 2у + Зх < 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

Координаты точки В не удовлетворяют данному неравенству 2∙3 + 3∙1 < 6.

Так как данное неравенство может изменить знак на прямой 2у + Зх = 6, то неравенству удовлетворяет множество точек той об-ласти, где расположена точка А. Заштрихуем эту область.

Таким образом, мы изобразили множество решений неравенства 2у + Зх < 6.

Пример

Изобразим множество решений неравенства х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 > 0 на координатной плоскости.

Построим сначала график уравнения х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 = 0. Вы-делим в этом уравнении уравнение окружности: (х 2 + 2х + 1) + (у 2 - 4у + 4) = 4, или (х + 1) 2 + (у - 2) 2 = 2 2 .

Это уравнение окружности с центром в точке 0 (-1; 2) и радиусом R = 2. Построим эту окружность.

Так как данное неравенство строгое и точки, лежащие на самой окружности, неравенству не удовлетворяют, то строим окружность пунктирной линией.

Легко проверить, что координаты центра О окружности данному неравенству не удовлетворяют. Выражение х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 ме-няет свой знак на построенной окружности. Тогда неравенству удовлетворяют точки, расположенные вне окружности. Эти точки заштрихованы.

Пример

Изобразим на координатной плоскости множество решений нера-венства

(у - х 2)(у - х - 3) < 0.

Сначала построим график уравнения (у - х 2)(у - х - 3) = 0. Им яв-ляется парабола у = х 2 и прямая у = х + 3. Построим эти линии и отметим, что изменение знака выражения (у - х 2)(у - х - 3) проис-ходит только на этих линиях. Для точки А (0; 5) определим знак это-го выражения: (5- 3) > 0 (т. е. данное неравенство не выполняется). Теперь легко отметить множество точек, для кото-рых данное неравенство выполнено (эти области заштрихованы).

Алгоритм решения неравенств с двумя переменными

1. Приведем неравенство к виду f (х; у) < 0 (f (х; у) > 0; f (х; у) ≤ 0; f (х; у) ≥ 0;)

2. Записываем равенство f (х; у) = 0

3. Распознаем графики, записанные в левой части.

4. Строим эти графики. Если неравенство строгое (f (х; у) < 0 или f (х; у) > 0), то - штрихами, если неравенство нестрогое (f (х; у) ≤ 0 или f (х; у) ≥ 0), то - сплошной линией.

5. Определяем, на сколько частей графики разбили координатную плоскость

6. Выбираем в одной из этих частей контрольную точку. Определяем знак выражения f (х; у)

7. Расставляем знаки в других частях плоскости с учетом чередования (как по методу интервалов)

8. Выбираем нужные нам части в соответствии со знаком неравенства, которое мы решаем, и наносим штриховку

Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Урок: Уравнения и неравенства с двумя переменными

Рассмотрим в общем виде уравнение и неравенство с двумя переменными.

Уравнение с двумя переменными;

Неравенство с двумя переменными, знак неравенства может быть любым;

Здесь х и у - переменные, р - выражение, от них зависящее

Пара чисел () называется частным решением такого уравнения или неравенства, если при подстановке этой пары в выражение получаем верное уравнение или неравенство соответственно.

Задача состоит в том, чтобы найти или изобразить на плоскости множество всех решений. Можно перефразировать данную задачу - найти геометрическое место точек (ГМТ), построить график уравнения или неравенства.

Пример 1 - решить уравнение и неравенство:

Иначе говоря, задача подразумевает найти ГМТ.

Рассмотрим решение уравнения. В данном случае значение переменной х может быть любым, в связи с этим имеем:

Очевидно, что решением уравнения является множество точек, образующих прямую

Рис. 1. График уравнения, пример 1

Решениями заданного уравнения являются, в частности, точки (-1;0), (0; 1), (х 0 , х 0 +1)

Решением заданного неравенства является полуплоскость, расположенная над прямой , включая саму прямую (см. рисунок 1). Действительно, если взять любую точку х 0 на прямой, то имеем равенство . Если же взять точку в полуплоскости над прямой, имеем . Если мы возьмем точку в полуплоскости под прямой, то она не удовлетворит нашему неравенству: .

Теперь рассмотрим задачу с окружностью и кругом.

Пример 2 - решить уравнение и неравенство:

Мы знаем, что заданное уравнение - это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 1.

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 2

В произвольной точке х 0 уравнение имеет два решения: (х 0 ; у 0) и (х 0 ; -у 0).

Решением заданного неравенства является множество точек, расположенных внутри окружности, не учитывая саму окружность (см. рисунок 2).

Рассмотрим уравнение с модулями.

Пример 3 - решить уравнение:

В данном случае можно было бы раскрывать модули, но мы рассмотрим специфику уравнения. Несложно заметить, что график данного уравнения симметричен относительно обеих осей. Тогда если точка (х 0 ; у 0) является решением, то и точка (х 0 ; -у 0) - также решение, точки (-х 0 ; у 0) и (-х 0 ; -у 0) также являются решением.

Таким образом, достаточно найти решение там, где обе переменные неотрицательны, и взять симметрию относительно осей:

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 3

Итак, как мы видим, решением уравнения является квадрат.

Рассмотрим так называемый метод областей на конкретном примере.

Пример 4 - изобразить множество решений неравенства:

Согласно методу областей, первым делом рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль. Это функция от двух переменных:

Аналогично методу интервалов, временно отходим от неравенства и изучаем особенности и свойства составленной функции.

ОДЗ: , значит, ось х выкалывается.

Теперь укажем, что функция равна нулю, когда числитель дроби равен нулю, имеем:

Строим график функции.

Рис. 4. График функции , учитывая ОДЗ

Теперь рассмотрим области знакопостоянства функции, они образованы прямой и ломаной . внутри ломаной находится область D 1 . Между отрезком ломаной и прямой - область D 2 , ниже прямой - область D 3 , между отрезком ломаной и прямой - область D 4

В каждой из выбранных областей функция сохраняет знак, значит достаточно в каждой области проверить произвольную пробную точку.

В области возьмем точку (0;1). Имеем:

В области возьмем точку (10;1). Имеем:

Так, вся область отрицательна и не удовлетворяет заданному неравенству.

В области возьмем точку (0;-5). Имеем:

Так, вся область положительна и удовлетворяет заданному неравенству.

Решение неравенства с двумя переменными , а тем более системы неравенств с двумя переменными , представляется достаточно сложной задачей. Однако есть простой алгоритм, который помогает легко и без особых усилий решать на первый взгляд очень сложные задачи такого рода. Попробуем в нем разобраться.

Пусть мы имеем неравенство с двумя переменными одного из следующих видов:

y > f(x); y ≥ f(x); y < f(x); y ≤ f(x).

Для изображения множества решений такого неравенства на координатной плоскости поступают следующим образом:

1. Строим график функции y = f(x), который разбивает плоскость на две области.

2. Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполнимость исходного неравенства для этой точки. Если в результате проверки получается верное числовое неравенство, то заключаем, что исходное неравенство выполняется во всей области, которой принадлежит выбранная точка. Таким образом, множеством решений неравенства – область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.

3. Если неравенство строгое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), включают в множество решений данного неравенства и границу в таком случае изображают сплошной линией.
А теперь рассмотрим несколько задач на эту тему.

Задача 1.

Какое множество точек задается неравенством x · y ≤ 4?

Решение.

1) Строим график уравнения x · y = 4. Для этого сначала преобразуем его. Очевидно, что x в данном случае не обращается в 0, так как иначе мы бы имели 0 · y = 4, что неверно. Значит, можем разделить наше уравнение на x. Получим: y = 4/x. Графиком данной функции является гипербола. Она разбивает всю плоскость на две области: ту, что между двумя ветвями гиперболы и ту, что снаружи их.

2) Выберем из первой области произвольную точку, пусть это будет точка (4; 2).
Проверяем неравенство: 4 · 2 ≤ 4 – неверно.

Значит, точки данной области не удовлетворяют исходному неравенству. Тогда можем сделать вывод о том, что множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.

3) Так как неравенство нестрогое, то граничные точки, то есть точки графика функции y = 4/x, рисуем сплошной линией.

Закрасим множество точек, которое задает исходное неравенство, желтым цветом (рис. 1).

Задача 2.

Изобразить область, заданную на координатной плоскости системой
{ y > x 2 + 2;
{y + x > 1;
{ x 2 + y 2 ≤ 9.

Решение.

Строим для начала графики следующих функций (рис. 2) :

y = x 2 + 2 – парабола,

y + x = 1 – прямая

x 2 + y 2 = 9 – окружность.

1) y > x 2 + 2.

Берем точку (0; 5), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 5 > 0 2 + 2 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше данной параболы y = x 2 + 2, удовлетворяют первому неравенству системы. Закрасим их желтым цветом.

2) y + x > 1.

Берем точку (0; 3), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 3 + 0 > 1 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше прямой y + x = 1, удовлетворяют второму неравенству системы. Закрасим их зеленой штриховкой.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Берем точку (0; -4), которая лежит вне окружности x 2 + y 2 = 9.
Проверяем неравенство: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – неверно.

Следовательно, все точки, лежащие вне окружности x 2 + y 2 = 9, не удовлетворяют третьему неравенству системы. Тогда можем сделать вывод о том, что все точки, лежащие внутри окружности x 2 + y 2 = 9, удовлетворяют третьему неравенству системы. Закрасим их фиолетовой штриховкой.

Не забываем о том, что если неравенство строгое, то соответствующую граничную линию следует рисовать пунктиром. Получаем следующую картинку (рис. 3) .

(рис. 4) .

Задача 3.

Изобразить область, заданную на координатной плоскости системой:
{x 2 + y 2 ≤ 16;
{x ≥ -y;
{x 2 + y 2 ≥ 4.

Решение.

Строим для начала графики следующих функций:

x 2 + y 2 = 16 – окружность,

x = -y – прямая

x 2 + y 2 = 4 – окружность (рис. 5) .

Теперь разбираемся с каждым неравенством в отдельности.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

Берем точку (0; 0), которая лежит внутри окружности x 2 + y 2 = 16.
Проверяем неравенство: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие внутри окружности x 2 + y 2 = 16, удовлетворяют первому неравенству системы.
Закрасим их красной штриховкой.

Берем точку (1; 1), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 1 ≥ -1 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше прямой x = -y, удовлетворяют второму неравенству системы. Закрасим их синей штриховкой.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

Берем точку (0; 5), которая лежит вне окружности x 2 + y 2 = 4.
Проверяем неравенство: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие вне окружности x 2 + y 2 = 4, удовлетворяют третьему неравенству системы. Закрасим их голубым цветом.

В данной задаче все неравенства нестрогие, значит, все границы рисуем сплошной линией. Получаем следующую картинку (рис. 6) .

Искомая область – это область, где все три раскрашенных области пересекаются друг с другом (рис 7) .

Остались вопросы? Не знаете, как решить систему неравенств с двумя переменными?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.