Что же такое среднее арифметическое число? Как найти среднее арифметическое? Где и для чего применяется это значение?

Чтобы полностью вникнуть в суть задачи, нужно несколько лет изучать алгебру в школе, а потом и в институте. Но в обыденной жизни, для того чтобы знать, как найти среднее арифметическое чисел, не обязательно знать про него досконально все. Объясняя простым языком, это сумма чисел, поделенная на количество этих слагаемых чисел.

Так как вычислить среднее арифметическое не всегда получается без остатка, то величина может даже получиться дробной, даже при вычислении среднего количества человек. Это обусловлено тем, что среднее арифметическое - понятие абстрактное.

Эта абстрактная величина затрагивает множество сфер современной жизни. Она используется в математике, бизнесе, статистике, часто даже в спорте.

Например, многих интересует всех участников какого-либо коллектива или среднее количество съеденных продуктов за месяц в пересчёте на одни сутки. А уж данные про то, сколько в среднем было потрачено на какое-либо дорогостоящее мероприятие, встречаются во всех источниках средств массовой информации. Чаще всего, конечно, подобные данные используются в статистике: чтобы точно знать, какое явление подверглось упадку, а какое возросло; какой продукт более всего пользуется спросом и в какой именно период; для простоты устранения нежелательных показателей.

В спорте мы можем встретить понятие среднего числа, когда нам, например, объявляют средний возраст спортсменов или забитых голов в футболе. А каким образом высчитывают заработанный средний балл во время соревнований или на всеми нами любимом КВНе? Да для этого ничего другого и не нужно делать, как найти среднее арифметическое всех выставленных судьями оценок!

Кстати, часто и в школьной жизни некоторые педагоги прибегают к подобному способу, выводя четвертные и годовые оценки своим ученикам. Так же часто используют в высших учебных заведениях, нередко и в школах, для вычисления среднего бала успеваемости обучающихся, чтобы определить эффективность преподавателя или распределить студентов по их возможностям. Еще существует множество сфер жизни, в которых используется эта формула, но цель в основном одна - узнать и проконтролировать.

В бизнесе среднее арифметическое можно использовать для подсчета и контроля доходов и убытков, зарплат и других расходов. Например, при подаче справок в некоторые организации о доходах требуется как раз среднемесячная за последние полгода. Удивительным является такой факт, что некоторые сотрудники, в обязанности которых входит сбор подобной информации, получив справку не со среднемесячным заработком, а просто о доходах за полгода, не знает, как найти среднее арифметическое, то есть, вычислить среднемесячную зарплату.

Средняя арифметическая величина - это какого-либо признака (цены, зарплаты, населения и др.), объем которого при вычислении не меняется. Простыми словами, когда вычисляется среднее число яблок, съеденных Петей и Машей, получится то число, которое будет равняться половине всего количества яблок. Даже если Маша съела десять, а Пете досталось всего одно, то когда мы поделим их общее количество пополам, тогда мы и получим среднюю арифметическую величину.

Сегодня многие шутят по поводу высказывания Путина о том, что средняя зарплата живущих в России равняется 27 тысячам рублей. Шутки остряков в основном звучат так: «Или я не россиянин? Или я уже не живущий?» А вопрос-то весь как раз в том, что эти остряки тоже, видимо, не знают, как найти среднее арифметическое зарплат жителей России.

Нужно просто сложить доходы олигархов, руководителей предприятий, бизнесменов с одной стороны и заработные платы уборщиц, дворников, продавцов и кондукторов с другой. А затем полученную сумму поделить на количество людей, чьи доходы вошли эту сумму. Вот и получиться удивительная цифра, которая выражается 27 000 рублями.

Трое детей пошли в лес за ягодами. Старшая дочь нашла 18 ягод, средняя - 15, а младший брат - 3 ягоды (см. рис. 1). Принесли ягоды маме, которая решила разделить ягоды поровну. Сколько ягод получил каждый из детей?

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Решение

(яг.) - всего собрали дети

2) Разделим общее количество ягод на количество детей:

(яг.) досталось каждому ребёнку

Ответ : каждый ребёнок получит по 12 ягод.

В задаче 1 полученное в ответе число - это среднее арифметическое.

Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество.

Пример 1

Мы имеем два числа: 10 и 12. Найти их среднее арифметическое.

Решение

1) Определим сумму этих чисел: .

2) Количество этих чисел равно 2, следовательно, среднее арифметическое этих чисел равно: .

Ответ : среднее арифметическое чисел 10 и 12 - это число 11.

Пример 2

Мы имеем пять чисел: 1, 2, 3, 4 и 5. Найти их среднее арифметическое.

Решение

1) Сумма этих чисел равна: .

2) По определению среднее арифметическое - это частное от деления суммы чисел на их количество. Мы имеем пять чисел, поэтому среднее арифметическое равно:

Ответ : среднее арифметическое данных в условии чисел равно 3.

Кроме того, что его постоянно предлагают найти на уроках, нахождение среднего арифметического весьма полезно и в повседневной жизни. Например, предположим, что мы хотим поехать на отдых в Грецию. Для выбора подходящёй одежды мы смотрим, какая температуру в этой стране в данный момент. Однако мы не узнаем общей картины погоды. Поэтому необходимо узнать температуру воздуха в Греции, например, за неделю, и найти среднее арифметическое этих температур.

Пример 3

Температура в Греции за неделю: понедельник - ; вторник - ; среда - ; четверг - ; пятница - ; суббота - ; воскресенье - . Посчитать среднюю температуру за неделю.

Решение

1) Вычислим сумму температур: .

2) Разделим полученную сумму на количество дней: .

Ответ : средняя температура за неделю около .

Умение находить среднее арифметическое также может понадобиться для определения среднего возраста игроков футбольной команды, то есть для того чтобы установить, опытная команда или нет. Необходимо просуммировать возраст всех игроков и разделить на их количество.

Задача 2

Купец продавал яблоки. Сначала он продавал их по цене 85 рублей за 1 кг. Так он продал 12 кг. Затем он снизил цену до 65 рублей и продал оставшиеся 4 кг яблок. Какая была средняя цена за яблоки?

Решение

1) Посчитаем, сколько денег всего заработал купец. 12 килограмм он продал по цене 85 рублей за 1 кг: (руб.).

4 килограмма он продал по цене 65 рублей за 1 кг: (руб.).

Следовательно, общая сумма заработанных денег равна: (руб.).

2) Общий вес проданных яблок равен: .

3) Разделим полученную сумму денег на общий вес проданных яблок и получим среднюю цену за 1 кг яблок: (руб.).

Ответ : средняя цена 1 кг проданных яблок - 80 рублей.

Среднее арифметическое помогает оценить данные в целом, не беря каждое значение по отдельности.

Однако не всегда можно пользоваться понятием среднее арифметическое.

Пример 4

Стрелок сделал два выстрела по мишени (см. рис. 2): в первый раз он попал на метр выше мишени, а во второй - на метр ниже. Среднее арифметическое покажет, что он попал точно в центр, хотя он промахнулся оба раза.

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

На этом уроке мы познакомились с понятием среднее арифметическое. Мы узнали определение этого понятия, научились вычислять среднее арифметическое для нескольких чисел. Также мы узнали практическое применение этого понятия.

1. Н.Я. Виленкин. Математика: учеб. для 5 кл. общеобр. учр. - Изд. 17-е. - М.: Мнемозина, 2005.
)
2. У Игоря было с собой 45 рублей, у Андрея - 28, а у Дениса - 17.
3. На все свои деньги они купили 3 билета в кино. Сколько стоил один билет?

Больше всего в эк. практике приходится употреблять среднюю арифметическую, которая может быть исчислена как средняя арифметическая простая и взвешенная.

Средняя арифметическая (СА) -н аиболее распространенный вид средних. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Для общест­венных явлений характерна аддитивность (суммарность) объе­мов варьирующего признака, этим определяется область при­менения СА и объясняется ее распро­страненность как обобщающего показателя, напр: общий фонд з/ п – это сумма з/п всех работников.

Чтобы исчислить СА, нужно сумму всех значений признаков разделить на их число. СА примен-ся в 2 формах.

Рассмотрим сначала простую арифметическую среднюю.

1-СА простая (исходная, определяющая форма) равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений (применяется когда имеются несгруппированные инд. значения признака):

Произведенные вычисления могут быть обобщены в следующую формулу:

(1)

где - среднее значение варьирующего признака, т. е. средняя арифметическая простая;

означает суммирование, т. е. сложение отдельных признаков;

x - отдельные значения варьирующего признака, которые называются вариантами;

n - число единиц совокупности

Пример1, требуется найти среднюю выработку одного рабочего (слесаря), если известно, сколько деталей изготовил каждый из 15 рабочих, т.е. дан ряд инд. значений признака, шт.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

СА простая рассчитывается по формуле(1),шт.:

Пример2 . Рассчитаем СА на основании условных данных по 20 магазинам, входящим в торговую фирму (табл. 1). Таблица.1

Распределение магазинов торговой фирмы "Весна" по торговой площади, кв. М

Для вычисления средней площади магазина () необходимо сложить площади всех магазинов и полученный результат разделить на число магазинов:

Т.о., средняя площадь магазина по этой группе торговых предприятий составляет 71 кв.м.

Следовательно, чтобы определить СА простую, нужно сумму всех значений данного признака разделить на число единиц, обладающих этим признаком .

2

где f 1 , f 2 , … ,f n – веса (частоты повторения одинаковых признаков);

– сумма произведений величины признаков на их частоты;

– общая численность единиц совокупности.

Где х - варианты;

f - частота (вес).

СА взвешенная есть частное от деления суммы произведений вариантов и соответствующих им частот на сумму всех частот. Частоты (f ) фигурирующие в формуле СА, принято называть весами , вследствие чего СА, вычисленная с учетом весов, и получила название взвешенной.

Технику вычисления СА взвешенной проиллюстрируем на рассмотренном выше примере 1. Для этого сгруппируем исходные данные и поместим их в табл.

Средняя из сгруппированных данных определяется следующим образом: сначала перемножают варианты на частоты, затем складывают произведения и полученную сумму делят на сумму частот.

По формуле (2) СА взвешенная равна, шт.:

П

Распределение магазинов фирмы "Весна" по торговой площади, кв. м

Т.о., результат получился тот же самый. Однако это уже будет величина средняя арифметическая взвешенная.

В предыдущем примере мы вычисляли арифметическую среднюю при условии, что известны абсолютные частоты (численность магазинов). Однако в ряде случаев абсолютные частоты отсутствуют, а известны относительные частоты, или, как принято их называть, частости, которые показывают долю или удельный вес частот во всей совокупности.

При расчетах СА взвешенной использование частот позволяет упрощать расчеты, когда частота выражена большими, многозначными числами. Расчет производится тем же способом, однако, так как средняя величина оказывается увеличенной в 100 раз, полученный результат следует разделить на 100.

Тогда формула средней арифметической взвешенной будет иметь вид:

где d – частость , т.е. доля каждой частоты в общей сумме всех частот.

В нашем примере 2 сначала определяют удельный вес магазинов по группам в общей численности магазинов фирмы "Весна". Так, для первой группы удельный вес соответствует 10%
. Получаем следующие данныеТаблица3

Самым распространенным видом средней является средняя арифметическая.

Средняя арифметическая простая

Простая среднеарифметическая величина представляет собой среднее слагаемое, при определении которого общий объем данного признака в данных поровну распределяется между всеми единицами, входящими в данную совокупность. Так, среднегодовая выработка продукции на одного работающего — это такая величина объема продукции, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь объем выпущенной продукции в одинаковой степени распределялся между всеми сотрудниками организации. Среднеарифметическая простая величина исчисляется по формуле:

Простая средняя арифметическая — Равна отношению суммы индивидуальных значений признака к количеству признаков в совокупности

Найти среднюю заработную плату
Решение: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 тыс. руб.

Средняя арифметическая взвешенная

Если объем совокупности данных большой и представляет собой ряд распределения, то исчисляется взвешенная среднеарифметическая величина. Так определяют средневзвешенную цену за единицу продукции: общую стоимость продукции (сумму произведений ее количества на цену единицы продукции) делят на суммарное количество продукции.

Представим это в виде следующей формулы:

Взвешенная средняя арифметическая — равна отношению (суммы произведений значения признака к частоте повторения данного признака) к (сумме частот всех признаков).Используется, когда варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз.

Средняя заработная плата может быть получена путем деления общей суммы заработной платы на общее число рабочих:

Ответ: 3,35 тыс.руб.

Средняя арифметическая для интервального ряда

При расчете средней арифметической для интервального вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как полусумму верхней и нижней границ, а затем — среднюю всего ряда. В случае открытых интервалов значение нижнего или верхнего интервала определяется по величине интервалов, примыкающих к ним.

Средние, вычисляемые из интервальных рядов являются приближенными.

Пример 3 . Определить средний возраст студентов вечернего отделения.

Средние, вычисляемые из интервальных рядов являются приближенными. Степень их приближения зависит от того, в какой мере фактическое распределение единиц совокупности внутри интервала приближается к равномерному.

При расчете средних в качестве весов могут использоваться не только абсолютные, но и относительные величины (частость):

Средняя арифметическая обладает целым рядом свойств, которые более полно раскрывают ее сущность и упрощают расчет:

1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты, т.е.

2.Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических этих величин:

3.Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней равна нулю:

4.Сумма квадратов отклонений вариантов от средней меньше, чем сумма квадратов отклонений от любой другой произвольной величины , т.е.

Средним арифметическим называют сумму чисел, разделенное на количество этих самых чисел. А найти среднее арифметическое очень просто.

Как следует из определения мы должны взять числа, сложить их и разделить на их количество.

Приведем пример: дается числа 1, 3, 5, 7 и нам надо найти среднее арифметическое этих чисел.

• сначала складываем эти числа (1+3+5+7) и получаем 16
• полученный результат нам надо разделить на 4 (кол - во): 16/4 и получаем результат 4.

Итак, среднее арифметическое чисел 1, 3, 5 и 7 - это 4.

Среднее арифметическое - среднее значение среди заданных показателей.

Оно находится путем деления суммы всех показателей на их количество.

Например, у меня есть 5 яблок весом 200, 250, 180, 220 и 230 грамм.

Средний вес 1 яблока находим так:

• ищем общий вес всех яблок (сумму всех показателей) - он равен 1080 граммов,
• делим общий вес на количество яблок 1080:5 = 216 граммов. Это и есть среднее арифметическое.

Это наиболее часто применяемый в статистике показатель.

Средне арифметическое число, это числа сложенные вместе и деленные на их количество, полученный ответ и есть средне арифметическое число.

Например: Катя положила в копилку 50 рублей, Максим 100 рублей, а Саша положил в копилку 150 рублей. 50 + 100 + 150 = 300 рублей в копилке, теперь делим эту сумму на три (три человека положили деньги). Итак 300: 3 = 100 рублей. Эти 100 рублей и будет средне арифметически, каждый из них положил в копилку.

Есть такой простой пример: один человек ест мясо, другой человек ест капусту, а средне арифметически они оба едят голубцы.

Таким же образом рассчитывают среднюю зарплату...

Среднее арифметическое - это сумма всех значений и деленное на их количество.

Например числа 2, 3 , 5, 6 . Нужно их сложить 2+ 3+ 5 + 6 = 16

16 делим на 4 и получаем ответ 4 .

4 и есть среднее арифметическое этих чисел.

Среднее арифметическое нескольких чисел это сумма этих чисел, делнная на их количество.

x ср среднее арифметическое

S сумма чисел

n количество чисел.

Например, нам нужно найти среднее арифметическое чисел 3, 4, 5 и 6.

Для этого нам нужно их сложить и полученную сумму разделить на 4:

(3 + 4 + 5 + 6) : 4 = 18: 4 = 4,5.

Помню как итоговую контрольную по математике сдавал

Так там нужно было среднее арифметическое найти.

Хорошо что добрые люди подсказали что делать, иначе беда.

Например у нас 4 числа.

Складываем числа и делим на их количество (в данном случае 4)

Например цифры 2,6,1,1. Складываем 2+6+1+1 и делим на 4 = 2.5

Как видите ничего сложного. Так что среднее арифметическая - это среднее значение всех чисел.

Это мы знаем со школьной скамьи. У кого был хороший учитель по математике, то запомнить это нехитрое действие можно было с первого раза.

При нахождении среднего арифметического необходимо сложить все имеющиеся числа и разделить на их количество.

Например, я купила в магазине 1 кг яблок, 2 кг бананов, 3 кг апельсинов и 1 кг киви. Сколько килограммов в среднем я купила фруктов.

7/4= 1,8 килограммов. Это и будет среднеарифметическим значением.

Среднее арифметическое - это среднее число между несколькими числами.

Например между числами 2 и 4 среднее число 3.

Формула нахождения среднего арифметического такая:

Нужно сложить все числа и разделить на количество этих чисел:

Например у нас 3 числа: 2, 5 и 8.

Находим среднее арифметическое:

X=(2+5+8)/3=15/3=5

Область применения среднего арифметического достаточно широка.

Например можно зная координаты двух точек отрезка найти координаты середины этого отрезка.

Например координаты отрезка: (X1,Y1,Z1)-(X2,Y2,Z2).

Обозначим середину этого отрезка координатами X3,Y3,Z3.

Отдельно находим середину для каждой координаты:

Среднеарифметическое-это среднее значение из заданных...

Т.е. по простому имеем количество палочек разной длины и хотим узнать их среднее значение..

Логично, что для этого мы их сводим вместе, получая длинную палку, а потом делим е на требуемое число частей..

Вот и выходит среднеарифметическое..

Вот так и выводится формула:Sa=(S(1)+..S(n))/n..

Арифметика считается самым элементарным разделом математики и изучает простые действия с числами. Поэтому и среднее арифметическое также находится очень просто. Начнем с определения. Среднее арифметическое - это величина, которая показывает какое число наиболее близко к истине при нескольких последовательных однотипных действиях. Например при беге на сто метров человек каждый раз показывает разное время, но средняя величина будет в пределах например 12 секунд. Нахождение среднего арифметического таким образом сводится в последовательному суммированию всех чисел определенного ряда (результатов забегов) и деление этой суммы на количество этих забегов (попыток, чисел). В виде формулы это выглядит так:

Sариф = (Х1+Х2+..+Хn)/n

Мне, как математику, интересны вопросы по данному предмету.

Начну с истории вопроса. Над средними величинами задумывались с древних времмен. Среднее арифметическое, среднее геометоическое, среднее гармоническое. Эти понятия предложены в древней Греции пифагорийцами.

А теперь интересующий нас вопрос. Что же понимается под средним арифметичским нескольких чисел:

Итак, для нахождения среднего арифметического чисел нужно прибавить все числа и разделить полученную сумму на количество слагаемых.

Имеет место формула:



Пример. Найти среднее арифметическое чисел: 100, 175, 325.

Воспользуемся формулой нахождения среднего арифметического трех чисел (то есть вместо n будет 3; нужно сложить все 3 числа и разделить полученную сумму на их количество, т.е. на 3). Имеем: х=(100+175+325)/3=600/3=200.





Читайте также по теме:

1. Борис Ноткин биография и дети: последние новости Борис ноткин биография личная
2. Что означает во сне новогодняя елка
3. Культура Руси X - XIII вв
4. Топики для чтения на английском